Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．
（1）如圖（1），若點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且CD=CE，連接AD、BE，點(diǎn)O、M、N分別是AB、AD、BE的中點(diǎn)．求證：△OMN是等腰直角三角形；
（2）將圖（1）中△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°如圖（2），O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，則（1）中的結(jié)論是否成立，并說明理由；
（3）如圖（3），若BC=AC=4，CD=CE=2，將圖（1）中△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜a＜360°），O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，求在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段MN的最大值，并寫出此時(shí)a的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)題意得出BD=AE，再由O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，故可得出∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠MON的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）連接AE、BD，根據(jù)SAS定理得出△BCD≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)得出BD=AE，∠CBD=∠CAE，根據(jù)O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，可知OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（3）連接AE、BD，由（2）同理可證△OMN為等腰直角三角形．故MN=

2

OM．再由OM=

1

2

BD可知MN=

2

2

BD，所以當(dāng)BD最大時(shí)線段MN最大，顯然，當(dāng)△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即α=180°時(shí)，BD最大，由此可得出MN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵BC=AC，CD=CE，
∴BD=AE，
∵O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）
=180°-（45°+45°）=90°
∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）如圖2，連接AE、BD，
∵△CDE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACE=∠ACB=90° CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD，∠BON=∠BAE，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）
=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如圖，連接AE、BD，由（2）同理可證△OMN為等腰直角三角形．
∴MN=

2

OM．
又∵OM=

1

2

BD，
∴MN=

2

2

BD，
∴當(dāng)BD最大時(shí)線段MN最大，顯然，當(dāng)△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即α=180°時(shí)，
BD_最大=4+2=6，則MN_最大=

2

2

×6=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．