Question

【題目】已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在直線AB、BC上，且AD=BE.

（1）如圖1，若點(diǎn)D、E分別是AB、CB邊上的點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作∠AEG=60°，使EG=AE，連接GD，則∠AFD= （填度數(shù)）；

（2）在（1）的條件下，猜想DG與CE存在什么關(guān)系，并證明；

（3）如圖2，若點(diǎn)D、E分別是BA、CB延長線上的點(diǎn)，（2）中結(jié)論是否仍然成立？請給出判斷并證明.

Answer 1

【答案】(1)∠AFD= 60°（2）DG=CE，DG//CE；（3）詳見解析

【解析】

(1) 證明△ABE≌△CAD(SAS)，可得 ∠BAE=∠ACD，繼而根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60度以及三角形外角的性質(zhì)即可求得答案；

(2)由(1)∠AFD=60°，根據(jù)∠AEG=60°，可得GE//CD ，繼而根據(jù)GE=AE=CD，可得四邊形GECD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得DG=CE，DG//CE；

(3)延長EA交CD于點(diǎn)F，先證明△ACD≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 ∠ACD=∠BAE， CD=AE，繼而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠EFC= 60°，從而得∠EFC=∠GEF，得到GE//CD，繼而證明四邊形GECD是平行四邊形 ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到DG=CE，DG//CE.

(1) ∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴∠BAE=∠ACD，

∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=60°，

∴∠ACD+∠EAC=60°，

∴∠AFD=∠ACD+∠EAC=60°，

故答案為：60° ；

(2)DG=CE，DG//CE，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，

∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=60°，

∴∠ACD+∠EAC=60°，

∴∠AFD=∠ACD+∠EAC=60°，

又∵∠AEG=60°，

∴∠AFD=∠AEG，

∴GE//CD ，

∵GE=AE=CD，

∴四邊形GECD是平行四邊形，

∴DG=CE，DG//CE；

(3)仍然成立

延長EA交CD于點(diǎn)F，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠DAC=∠ABE=120°，

在△ACD和△BAE中，

，

∴△ACD≌△BAE(SAS)，

∴∠ACD=∠BAE， CD=AE，

∴∠EFC=∠DAF+∠BDC=∠BAE +∠AEB=∠ABC= 60°，

∴∠EFC=∠GEF，

∴GE//CD，

∵GE=AE=CD，

∴四邊形GECD是平行四邊形 ，

∴DG=CE，DG//CE.