Question

（2010•鄂州）已知⊙O的半徑為10，弦AB的長為10，點C在⊙O上，且C點到弦AB所在的直線的距離為5，則以O，A，B，C為頂點的四邊形的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：過O作OD⊥AB于D，由垂徑定理知AD=BD=5，則∠AOD=60°，OD=5；
①若延長OD交⊙O于E，則DE=5，此時E點符合C點的要求，且四邊形OACB為菱形，根據菱形的面積為對角線乘積的一半即可求得其面積；
②過O作AB的平行線，交⊙O于M、N，由于O到AB的矩形為5，所以M、N均符合C點的要求；此時四邊形OCAB為梯形，且上底為10，下底為10，高為5，根據梯形的面積公式即可求得其面積．
解答：解：如圖，連接OA、OB，過O作垂直于AB的半徑OE，交AB于D；
Rt△OAD中，AD=AB=5，OA=10；
故∠AOD=60°，OD=5；
①易知DE=OE-OD=5；所以E點符合C點的要求；
此時四邊形OAEB的對角線AB、OE互相垂直平分，故四邊形OAEB是菱形；
∴S_菱形OAEB=AB•OE=50；
②過O作平行于AB的直徑，交⊙O于M、N，則M、N到AB的距離均為OD=5；
所以M、N也符合C點的要求；
∴S_梯形OMAB=S_梯形ONBA=（OM+AB）×OD=25+25；
故以O，A，B，C為頂點的四邊形的面積是50或25+25
點評：此題主要考查了垂徑定理及解直角三角形的應用；計算過程并不復雜，難點在于能夠將所有的情況都考慮到．