Question

2．如圖，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，點E是AB邊上一動點（不與點A，B重合），連接DE，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G．

（1）求證：△ADE∽△CDF；
（2）求∠DEF的度數(shù)；
（3）設(shè)BE的長為x，△BEF的面積為y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時，y有最大值；
②當(dāng)y為最大值時，連接BG，請判斷此時四邊形BGDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF=3-$\sqrt{3}$x，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)即可得到結(jié)論；②根據(jù)當(dāng)x為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，y有最大值，得到BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，根據(jù)相似三角形的想得到CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到BE=DG，由于BE∥DG，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；

（2）∵BC=1，∠DBC=60°，
∴CD=$\sqrt{3}$，
在矩形ABCD中，
∵AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DEF=60°；

（3）①∵BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$-x，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3-$\sqrt{3}$x，
∴BF=BC+CF=4-$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x（4-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x，
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)x為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，y有最大值；
②y為最大值時，此時四邊形BGDE是平行四邊形，
∵當(dāng)x為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，y有最大值，
∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，
∵CG∥BE，
∴△CFG∽△BFE，
∴$\frac{CG}{BE}=\frac{CF}{BF}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=DG=BG，∵BE∥DG，
∴四邊形BGDE是菱形．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最大值，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．