Question

（2011•寶坻區(qū)一模）正方形ABCD的邊長為6，⊙O過B、C兩點，⊙O的半徑為

10

，那么AO的長為

58

或

34

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由于⊙O的圓心在正方形ABC的內(nèi)部與外部不能確定，故應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，連接OB，過O作OG⊥AD于點G，交BC于點F，由垂徑定理可知OF是BC的垂直平分線，再根據(jù)勾股定理求出OF的長；然后根據(jù)勾股定理在Rt△OAG中求得OA的長即可；
②當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，連接OB，過O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，由垂徑定理可知OF垂直平分BC，進(jìn)而可得出BF的長，由勾股定理可求出OF的長，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出tan∠BAO的值．

解答：解：①當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，如圖1所示：
連接OB，過O作OG⊥AD于點G，交BC于點F，
∵AD∥BC，OG⊥BC，
∴OF是BC的垂直平分線，
∵BC=6，
∴BF=AG=3，
∵OB=

10

，
∴OF=

OB2-BF2

=1，
∴OG=OF+GF=7，
在Rt△OAG中，
OA=

AG2+OG2

=

58

；

②當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，如圖2所示：
連接OB，過O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，
∴四邊形OEBF是矩形；
∵BC=6，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

×6=3（垂徑定理）；
∴OE=BF=3，OF=BE，
在Rt△OBF中，OF=

OB2-BF2

=1，
∴BE=1，AE=AB-BE=6-1=5，
在Rt△OAE中，
OA=

AE2+OE2

=

34

；
故答案為：

58

或

34

．

點評：本題考查的是垂徑定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．