Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=16，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PD⊥AB，D為垂足．
（1）若△ABC與△DAP相似，則∠APD是多少度？
（2）設(shè)BP=x，△APD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)糸式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)y值最大？最大值是多少？
（3）現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)C移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒），同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以線段BP為直徑作⊙O₁，以線段AQ為直徑作⊙O₂，根據(jù)⊙O₁和⊙O₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AC、AB的長(zhǎng)，再設(shè)BP=x，則DP=

1

2

x，BD=

3

2

x．AD=AB-BD=8

3

-

3

2

x，再根據(jù)y=

1

2

AD•DP即可得出x、y的函數(shù)關(guān)系式，求出y的最值即可；
（3）過(guò)O₂作O₂E⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)AO₂=t，得出O₂C=AC-AO₂=8-t，再根據(jù)勾股定理得出O₂E的長(zhǎng)，根據(jù)BO₁=2t，可得出O₁E的長(zhǎng)，假設(shè)兩圓相外切，則有O₁O₂=t+2t=3t．在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₁E²+O₂E²，故可得出t的值，根據(jù)t＞0可知t=4

3

-4．再根據(jù)當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)C，此時(shí)兩圓相交即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，
∴∠B=30°，
∵△DPA∽△ACB，
∴∠APD=60°，∠APD=30°；

（2）在Rt△ABC中，∠C=60°，BC=16，
∴AC=8，AB=8

3

．
∵BP=x，∴DP=

1

2

x，BD=

3

2

x．
∴AD=AB-BD=8

3

-

3

2

x，
∴y=

1

2

AD•DP=

1

2

（8

3

-

3

2

x）•

1

2

x=-

3

8

x²+2

3

x=-

3

8

（x-8）²+8

3

．
∵0＜x＜16，
∴當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值，最大值是8

3

；

（3）解法一：過(guò)O₂作O₂E⊥BC于點(diǎn)E，連O₁O₂，
∵AO₂=t，
∴O₂C=AC-AO₂=8-t．
在Rt△O₂EC 中，∠C=60°，
∴EC=

1

2

O₂C=4-

1

2

t，
∴O₂E=

O2C2-EC2

=

3

（4-

1

2

t），
∵BO₁=2t，
∴O₁E=BC-EC-BO₁=16-（4-

1

2

t）-2t=12-

3

2

t．
假設(shè)兩圓相外切，則有O₁O₂=t+2t=3t．
在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₁E²+O₂E²
即（3t）²=（4-

1

2

t）²+（12-

3

2

t）²
化簡(jiǎn)得，t²+8t-32=0，
解得t=-4±4

3

．因?yàn)閠＞0，
所以t=4

3

-4．…（12分）
又∵當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)C，此時(shí)兩圓相交．
∴綜上所述當(dāng)0＜t＜4

3

-4（或0≤t＜4

3

-4）時(shí)，兩圓相離，沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)t=4

3

-4時(shí)，兩圓外切，只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)4

3

-4＜t≤4時(shí)，兩圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．…（14分）
解法二：連O₁O₂，
∵AO₂=t，BO₁=2t，
∴O₂C=AC-AO₂=8-t，CO₁=16-2t，
∵

CO2

CO1

=

CA

CB

，∠C=∠C，
∴△CO₁O₂∽△CBA，即：∠CO₂O₁=∠CAB=90°
則 CO22+O1O22=CO12
假設(shè)兩圓相外切，則有O₁O₂=t+2t=3t．
∴（8-t）²+（3t）²=（16-2t）²
解得t=-4±4

3

．因?yàn)閠＞0，
所以t=4

3

-4．…（12分）
又∵當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)C，此時(shí)兩圓相交．
∴綜上所述當(dāng)0＜t＜4

3

-4（或0≤t＜4

3

-4）時(shí)，兩圓相離，沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)t=4

3

-4時(shí)，兩圓外切，只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)4

3

-4＜t≤4時(shí)，兩圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．
解法三：過(guò)O₁作O₁H⊥BA于點(diǎn)H，則 O₁O₂=HA，
∵BO₁=2t，∴BH=

3

t．
假設(shè)兩圓相外切，
∵AO₂=t，則有O₁O₂=t+2t=3t．
∵BH+HA=BH+O₁O₂=AB
∴

3

t+3t=8

3

，解得：t=4

3

-4．
又∵當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)C，此時(shí)兩圓相交．
∴綜上所述當(dāng)0＜t＜4

3

-4（或0≤t＜4

3

-4）時(shí)，兩圓相離，沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)t=4

3

-4時(shí)，兩圓外切，只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)4

3

-4＜t≤4時(shí)，兩圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，難度較大．