Question

20．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E以相同的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動，BE與AD相交于點(diǎn)F，連結(jié)DE．則下列結(jié)論：①若BD=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{1}{3}$AC，則DE⊥AC；②CE²=DF•DA；③AF•BE=AE•AC；④若△ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，點(diǎn)F隨點(diǎn)D、E運(yùn)動，則點(diǎn)F運(yùn)動所經(jīng)過的路徑長為4π，其中正確的有①②③（填序號）

Answer 1

分析 ①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，即可證∠AFE=60°，從CD上截取CM=CE，連接EM，證△CEM是等邊三角形，可證明DE⊥AC；②△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE²=DF•DA；③只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出AF•BE=AE•AC；④根據(jù)題意求出∠AFB=120°，根據(jù)弧長公式計(jì)算，即可判斷．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，
∵BD=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{1}{3}$AC，
∴BD=EC，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°，
∴∠ABE+∠CBE=60°，
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=60°，
從CD上截取CM=CE，連接EM，則△CEM是等邊三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=$\frac{1}{2}$CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴①正確；
由前面的推斷知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF•DA
∴CE²=DF•DA
∴②正確；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴③正確；
∵∠AFE=60°，
∴∠AFB=120°，
∴點(diǎn)F在以AB為弦的圓上，且弦AB所對的圓心角為120°，
則圓的半徑為2，
∴點(diǎn)F運(yùn)動所經(jīng)過的路徑長為：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
∴④錯誤，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、判定定理是解題的關(guān)鍵．