Question

【題目】如圖，內(nèi)接于，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，．

求證：為的切線．

若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)．

【解析】

（1）連接，由半徑垂直于，利用垂徑定理得到為的中點(diǎn)，可得出兩條弧相等，根據(jù)等弧對(duì)等角可得出，又為圓的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角可得出，等量代換可得出三個(gè)角相等，由與垂直得到為直角，可得出三個(gè)角都為，再利用同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的倍，可得出為，又為，在三角形中，利用三角形的內(nèi)角和定理得到為，根據(jù)垂直的定義得到垂直于，即可得出此時(shí)為圓的切線；

（2）由，且為，得到三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊長(zhǎng)相等可得出，由的長(zhǎng)得出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，將及的值代入即可求出的長(zhǎng).

連接，如圖所示：

∵，且為圓心，

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，

∴，

又為切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

則為圓切線；

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

在中，，

∴，

則．