Question

9．△ABC內(nèi)接于⊙O中，OD⊥BC于D，若∠OBD=15°，則∠A=75°或105°．

Answer 1

分析 如圖1，圓心O在△ABC內(nèi)，連接OB，OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BOD=75°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；如圖2，圓心O在△ABC外，連接OB，OC，設(shè)E是圓上的一點，連接BE，CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BOD=75°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，圓心O在△ABC內(nèi)，連接OB，OC，
∴OB=OC，
∵OD⊥BC于D，
∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，
∵∠OBD=15°，
∴∠BOD=75°，
∴∠BOC=150°，
∴∠A=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°；
如圖2，連接OB，OC，設(shè)E是圓上的一點，連接BE，CE，
∴OB=OC，
∵OD⊥BC于D，
∴∠ODB=90°，∠BOC=2∠BOD，
∵∠OBD=15°，
∴∠BOD=75°，
∴∠BOC=150°，
∴∠E=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°；
∴∠A=180°-∠E=105°，
綜上所述：∠A=75°或105°．
故答案為：75°或105°．

點評 本題考查了圓周角定理，垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�