Question

（2013•河西區(qū)二模）已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B．

（1）如圖①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如圖②，過點B作BD∥MA，交AC于點E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線性質求出∠OBM=∠OAM=90°，根據(jù)圓周角定理求出∠COB，求出∠BOA，即可求出答案；
（2）連接AB、AD，得出平行四邊形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等邊三角形AMB，即可得出答案．

解答：解：（1）連接OB，
∵MA、MB分別切⊙O于A、B，
∴∠OBM=∠OAM=90°，
∵弧BC對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC，∠BAC=23°，
∴∠BOC=2∠BAC=46°，
∴∠BOA=180°-46°=134°，
∴∠AMB=360°-90°-90°-134°=46°．

（2）連接AD，AB，
∵BD∥AM，DB=AM，
∴四邊形BMAD是平行四邊形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∵AC過O，
∴BE=DE，
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分別切⊙O于A、B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等邊三角形，
∴∠AMB=60°．

點評：本題考查了等邊三角形性質和判定，切線性質，線段垂直平分線性質，垂徑定理，平行四邊形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運行性質進行推理的能力．