Question

已知關于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，方程總有實數根．
（2）若等腰△ABC的一邊長a=1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長？（9分）

Answer 1

分析：（1）先計算△，化簡得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根據△的意義即可得到結論；
（2）利用求根公式計算出方程的兩根x₁=2k-1，x₂=2，則可設b=2k-1，c=2，然后討論：當a、b為腰；當b、c為腰，
分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關系，最后計算周長．

解答：（1）證明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵無論k取什么實數值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取什么實數值，方程總有實數根；
（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是這個方程的兩個實數根，設b=2k-1，c=2，
當a、b為腰，則a=b=1，而a+b=c，所以這種情況不成立，
當b、c為腰，則2k-1=2，解得k=

3

2

，
此時三角形的周長=2+2+1=5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及分類討論思想的運用．