Question

已知，如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸是．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥，分別交軸、于點(diǎn)P、，連接．當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）由題意，得解得

所求拋物線(xiàn)的解析式為：．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

由，得，．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴，．

∥，∴．∴，

即．　　∴．

 

．

又，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)．

（3）∵  、、 、

∴ 是等腰直角三角形

∴

∵∥

∴

∴ 是等腰直角三角形

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為

∴

∴

∴

∵

∴   

【解析】（1）由拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，利用待定系數(shù)法求解即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）由（1）即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得AB與BM的長(zhǎng)，又由MN∥AC，即可證得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得NE的長(zhǎng)，S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM，求得S_△CMN=- (m+1)²+3，則可求得△CMN的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），則可證得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的長(zhǎng)，又由MN∥AC，證得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面積，然后由S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM求得△CPN的面積，又由S_△ABC=AB•OC=12，求其比值即可求得答案．