Question

14．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且與反此列函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD⊥x軸于D．若OA=OB=OD=1，
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB和反比例函數(shù)解析式；
（3）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)O在直線AB的同側(cè)）使得△ACP面積與△ACD面積相等，若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上以及OA=OB=1，即可解決問題．
（2）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）如圖，過點(diǎn)D作直線AC的平行線交反比例函數(shù)的圖象于P₁、P₂，此時△ACP面積與△ACD面積相等．求出直線P₁P₂的解析式，利用方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴A（-1，0），B（0，1），D（1，0）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+1．
∵OB∥CD，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{OA}{AD}$，
∴$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2，
∴C（1，2），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．

（3）如圖，過點(diǎn)D作直線AC的平行線交反比例函數(shù)的圖象于P₁、P₂，此時△ACP面積與△ACD面積相等．

設(shè)直線P₁P₂的解析式為y=x+b，把D（1，0）代入y=x+b得到b=-1，
∴直線P₁P₂的解析式為y=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（2，1）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組解決兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，屬于中考常考題型．