Question

14．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CE，求sin∠ACE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 要求sin∠ACE的值，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，作EF⊥AC，只要求出EF和EC的長(zhǎng)即可，根據(jù)題目中的條件可以表示出它們的長(zhǎng)，本題得以解決．

解答 解：作EF⊥AC于點(diǎn)F，如右圖所示，
設(shè)AC=BC=2a，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∴∠ACB=90°，∠B=∠A=45°，CD=BD=a，∠DEB=90°，
∴AB=$2\sqrt{2}a$，BE=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}a}{2}$，
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴△AFE∽△ACB，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，
解得，EF=$\frac{3a}{2}$，AF=$\frac{3a}{2}$，
∴CF=$\frac{a}{2}$，
∴EC=$\frac{\sqrt{10}a}{2}$，
∴sin∠ACE=$\frac{EF}{CE}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{\sqrt{10}a}{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，構(gòu)造直角三角形，找出所求問(wèn)題需要的條件．