Question

如圖，A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，AB²=13km，A、B兩村子到河的距離分別為AC=1km，BD=3km．現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)為每千米3000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設(shè)水管費(fèi)用的最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用W．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而得出AF的長(zhǎng)，再求出A′B的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答：解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
由題意可得：A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′B交CD于點(diǎn)O，此時(shí)AO+BO最小，
∵AC=1km，BD=3km，
∴BF=2km，DE=1km，
∵AB²=13km，
∴AF=

13-22

=3（km），
在Rt△BA′E中
A′E²+BE²=A′B²，
即3²+4²=A′B²，
解得：A′B=5，
則AO+BO=5（km），
故鋪設(shè)水管的總費(fèi)用W=5×3000=15000（元）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱求最短路徑，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．