Question

11．對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$與x軸交于A_n、B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₇B₂₀₁₇的值是（　�。�

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{2017}{2018}$
• D． 1

Answer 1

分析 首先求出拋物線與x軸兩個交點坐標，然后由題意得到A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₇B₂₀₁₇的值．

解答 解：令y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=0，
即x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=0，
解得x=$\frac{1}{n}$或x=$\frac{1}{n+1}$，
故拋物線y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$與x軸的交點為（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
由題意得A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₇B₂₀₁₇=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$，
故選C．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸交點的知識，解答本題的關(guān)鍵是用n表示出拋物線與x軸的兩個交點坐標，此題難度不大．