Question

1．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，點D為直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．
（1）當(dāng)點D在線段BC上時，如圖1所示，①∠EDC=22.5°；
②探究線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)點D運動到CB延長線上時，請你畫出圖形，并證明此時DF與EC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠BCM=67.5°，即可得出∠EDC的度數(shù)；
②作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結(jié)論；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）①解：如圖1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∵DE⊥CM，
∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；
故答案為：22.5；
②DF=2CE．理由如下：
證明：作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，如圖2所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．
（2）DF=2CE；理由如下：
證明：作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，如圖3所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．