Question

如圖，P為圓外一點(diǎn)，PB交圓于點(diǎn)A，B，PD交圓于點(diǎn)C，D，

BD

=75°，

AC

=15°
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）如果我們把頂點(diǎn)在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，請(qǐng)你仿照?qǐng)A周角定理“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半．”來(lái)概括出圓外角的性質(zhì)；
（3）請(qǐng)你定義“圓內(nèi)角”，并概括圓內(nèi)角的性質(zhì)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：新定義

分析：（1）首先連接AD，根據(jù)圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半，即可求得∠BAD與∠ADC的度數(shù)，繼而求得答案；
（2）由（1）的證明方法可證得圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半．
（3）利用圖形可以得出圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對(duì)頂角所對(duì)兩弧的度數(shù)和的一半，根據(jù)圓周角定理得出∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

，再利用三角形的外角性質(zhì)得出答案即可．

解答：解：（1）連接AD，
∵

BD

=75°，

AC

=15°，
∴∠BAD=

1

2

×75°=37.5°，∠ADC=

1

2

×15°=7.5°，
∴∠P=∠BAD-∠ADC=30°；

（2）圓外角的性質(zhì)：圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半．
理由：連接AD，
∵圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半，
∴∠BAD=

1

2

×

BD

，∠ADC=

1

2

×

AC

，
∴∠P=∠BAD-∠ADC=

1

2

（

BD

-

AC

），
∴圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半；

（3）圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對(duì)頂角所對(duì)兩弧的度數(shù)和的一半．
證明：如圖，延長(zhǎng)BA，交圓于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA，交圓于點(diǎn)E，連接CD．
∵∠BAC是△ACD 的一個(gè)外角，
∴∠BAC=∠C+∠D．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

．
∴∠BAC=∠C+∠D=

1

2

DE

+

1

2

BC

=

1

2

（

DE

+

BC

）．
∴命題成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用以及弧度與圓心角的關(guān)系和探索性問(wèn)題，根據(jù)已知探索方法進(jìn)行模仿變式進(jìn)而得出新的規(guī)律是解題關(guān)鍵．