Question

已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為直徑的半圓O₁和以O₁C為直徑的⊙O₂交于點F，連CF并延長交AD于點H，F(xiàn)E⊥AB于點E，BG⊥CH于點G．
（1）求證：CH是半圓O₁的切線；
（2）連接AF，求證：AF∥O₁C；
（3）當正方形ABCD的邊長為5時，求四邊形ABGF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連AF，BF，O₁F，根據(jù)圓周角定理的推論由CO₁為半圓O₂的直徑得到∠O₁FC=90°，再根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據(jù)圓周角定理的推論得到∠AFB=90°，而FE⊥AB，則∠AFE=∠ABF，又∠ABF=∠O₁CF，得到∠AFE=∠O₁CF，從而得到結論；
（3）根據(jù)切線長定理得到CF=CB，HA=HF，設AH=x，則DH=5-x，CH=5+x，在Rt△CHD中利用勾股定理可計算出x=，則CH=，易證得Rt△CBG∽Rt△HDC，利用相似比可求出BG=4，則GC=3，GF=2；由EF∥AP∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AE：EB=PF：FC=：5=1：4，則AE=1，O₁E=-1=，在Rt△O₁EF中利用勾股定理求出EF=2，而四邊形ABGF的面積=S_△ABF+S_△BGF，利用三角形面積公式計算即可．
解答：（1）證明：如圖，連AF，BF，O₁F，
∵CO₁為半圓O₂的直徑，
∴∠O₁FC=90°，
∴CH是半圓O₁的切線；

（2）證明：∵AB為半圓O₁的直徑，
∴∠AFB=90°，
而FE⊥AB，
∴∠AFE=∠ABF，
又∵∠ABF=∠O₁CF，
∴∠AFE=∠O₁CF，
∴AF∥O₁C；

（3）解：∵CH是半圓O₁的切線，
∴CF=CB，HA=HF，
設AH=x，則DH=5-x，CH=5+x，
在Rt△CHD中，CD²+DH²=CH²，即5²+（5-x）²=（5+x）²，
解得x=，
∴CH=，
易證得Rt△CBG∽Rt△HDC，
∴BG：CD=CB：CH，即BG：5=5：，
解得BG=4，
∴GC=3，
∴GF=2，
∵HA∥CB∥EF，
∴AE：EB=HF：FC=：5=1：4，
∴AE=1，
∴O₁E=-1=，
在Rt△O₁EF中，O₁F=，
∴FE=2，
∴四邊形ABGF的面積=S_△ABF+S_△BGF=EF•AB+BG•FG=×2×5+×2×4=9．
點評：本題考查了切線的判定定理以及切線長定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；從圓外引圓的兩切線，切線長相等．也考查了圓周角定理的推論、平行線分線段成比例定理以及勾股定理．