Question

如圖，直線(xiàn)BE交x軸正半軸于點(diǎn)B（a，0），交y軸正半軸于點(diǎn)E（0，b），且a、b滿(mǎn)足

a-4

+|4-b|=0，點(diǎn)A為BE的中點(diǎn)，
（1）寫(xiě)出A點(diǎn)坐標(biāo)為

（2，2）

；
（2）如圖，若C為線(xiàn)段OB上一點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連BD，求證：OA∥BD；
（3）如圖，P為x軸上B點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn)，以EP為邊作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直線(xiàn)MB交y軸點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段OQ的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變；求其值；若變化，求線(xiàn)段OQ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知a=4，b=4，得出△EOB為等腰直角三角形，又有A為EA的中點(diǎn)，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）利用等腰直角三角形△ACD求出∠CAB=∠CDB，再利用對(duì)頂角相等，從而得出∠ABD=90°=∠OAB，再根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出OA∥BD．
（3）利用等腰直角三角形的特點(diǎn)得出∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．又三角形全等的性質(zhì)得出MD=OP，PD=AO=BO，OP=OA+AP=PD+AP=AD，最后得出無(wú)論P(yáng)點(diǎn)怎么動(dòng)OQ的長(zhǎng)不變．

解答：解：（1）∵

a-4

+

.

b-4

.

=0
∴a=4，b=4，
∴△EOB為等腰直角三角形．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
故答案為（2，2）；

（2）∵以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，
∴∠CAB+∠BAD=45°，∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠ABD=90°=∠OAB，
∴OA∥BD；

（3）過(guò)M作MD⊥x軸，垂足為D．
∵∠EPM=90°，
∴∠EPO+MPD=90°．
∵∠QOB=∠MDP=90°，
∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．
在△PEO和△MPD中，

∠EPO=∠PMD ∠PEO=∠MPD EP=MP

∴△PEO≌△MPD，
MD=OP，PD=AO=BO，
OP=OA+AP=PD+AP=AD，
∴MD=AD，∠MAD=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴無(wú)論P(yáng)點(diǎn)怎么動(dòng)OQ的長(zhǎng)不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性比較強(qiáng)，難度中等．