Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，以對角線BD為邊作菱形BEFD，點C、E、F在同一直線上．
（1）求∠EBC的度數(shù)；
（2）求CE的長．

Answer 1

解：（1）連接AC交BD于點O，過點E作EH⊥BD于點H，
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴BD=AC=2，AC⊥BD，
∴OC=AC=，
∵四邊形BEFD是菱形，
∴BE=BD=2，BD∥EF，
∵點C、E、F在同一直線上，
∴EH=OC=，
在Rt△BEH中，sin∠EBH===，
∴∠EBH=30°，
∴∠EBC=∠DBC-∠EBH=45°-30°=15°；

（2）過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G，
∵BD∥EF，
∴∠ECG=∠DBC=45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
設EG=x，
則BG=BC+CG=2+x，
在Rt△BEG中，BE²=BG²+EG²，
即（2）²=（2+x）²+x²，
即2x²+4x-4=0，
解得：x=-1或x=--1（舍去），
∴EG=-1，
∴CE=EG=（-1）=-．
分析：（1）首先連接AC交BD于點O，過點E作EH⊥BD于點H，由正方形ABCD的邊長為2，四邊形BEFD是菱形，易求得BE=BD=2，由BD∥EF，可求得EH=OC=，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得∠EBC的度數(shù)；
（2）首先過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G，即可得△ECG是等腰直角三角形，然后設EG=CG=x，在Rt△BEG中，由BE²=BG²+EG²，可得方程：（2）²=（2+x）²+x²，解此方程即可求得EG的長，繼而求得CE的長．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及勾股定理的知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合與方程思想的應用．