Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，連AF，CE．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）若AB=3，AD=4，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形AECF為平行四邊形．只要證明AE∥CF，AE=CF即可．
（2）因?yàn)镋F=BD-2BE，所以求出BD以及BE即可解決問(wèn)題．

解答 證明：（1）∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
又AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴AE∥FC，
易證△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；               
（2）∵AB=3，AD=4，
在RT△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=5，
由面積法可求得AE=$\frac{12}{5}$，
在RT△ABE中，BE=DF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴EF=BD-2BE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，求EF時(shí)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．