Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，過頂點C任意作一直線分別交AB、AD的延長線于P、Q兩點，設PD、QB相交于點M．求證：∠PMQ=120°．

Answer 1

考點：菱形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：連接BD，利用等邊三角形的判定與性質得出△ABD為等邊三角形，進而得出△PBC∽△CDQ，再利用已知得出△PBD∽△BDQ，求出△BMD∽△BDQ進而得出答案．

解答：證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵BC∥AD，AB∥CD，
∴∠BPC=∠DCQ，∠BCP=∠DQC，
∴△PBC∽△CDQ，
∴

PB

BC

=

DC

DQ

，
∵BC=CD=BD，
∴BD²=PB×DQ，
∴

BD

PB

=

DQ

BD

，
∵∠PBD=∠BDQ=120°，
∴△PBD∽△BDQ，
∴∠BDM=∠DQB，
∵∠BDM=∠DBQ，
∴△BMD∽△BDQ，
∴∠BMD=∠BDQ=120°．

點評：此題主要考查了菱形的性質以及等邊三角形的判定與性質和相似三角形的判定與性質等知識，得出△PBC∽△CDQ是解題關鍵．