Question

2．已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），且A點坐標(biāo)為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．
（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并給出證明；
（4）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單
位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x軸交于M、N兩點，一次函數(shù)圖象交y軸于F點．當(dāng)t為何值時，過F、M、N三點的圓的面積最��？最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點，可將A點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．由于拋物線的頂點為原點，因此可設(shè)其解析式為y=ax²，直接將A點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中兩函數(shù)的解析式即可求出B點的坐標(biāo)；
（3）求直線與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長．由于直線l平行于x軸，因此圓心到直線l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長，根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)即可求出AB的長．然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可；
（4）先設(shè)出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2．因此過F，M，N三點的圓的圓心必在直線x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點的距離也要最�。ㄔO(shè)圓心為C），即F，C兩點的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是2．C點的坐標(biāo)為（2，1）（可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點的坐標(biāo)）．可設(shè)出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設(shè)對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．

解答 解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1，
則4=-4k+1，
得：k=-$\frac{3}{4}$，
故一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+1；
∵二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=$\frac{1}{4}$，
故二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{4}$x²．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴B（1，$\frac{1}{4}$），

（3）如圖1所示：過A，B點分別作直線l的垂線，垂足為A'，B'，
則AA′=4+1=5，BB′=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
故直角梯形AA'B'B的中位線長為$\frac{5+\frac{5}{4}}{2}$=$\frac{25}{8}$，
過B作BH垂直于直線AA'于點H，
則BH=A'B'=5，AH=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線l相切．

（4）如圖2所示：平移后二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-t，
令y=0，得$\frac{1}{4}$（x-2）²-t=0，x₁=2-2$\sqrt{t}$，x₂=2+2$\sqrt{t}$，
∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上，
點C為定點，B要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點F到直線x=2的距離，
此時，半徑為2，面積為4π，
設(shè)圓心為C，MN中點為E，連CE，CM，則CE=1，
在△CEM中，ME=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴MN=2$\sqrt{3}$，而MN=|x₂-x₁|=4$\sqrt{t}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時，過F，M，N三點的圓面積最小，最小面積為4π．

點評 此題主要考查了求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移、勾股定理，二次函數(shù)的最值、解二元二次方程組等知識點的理解和掌握，解決問題的關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式，梯形的中位線等于上下底之和的一半，同時掌握二次函數(shù)平移的規(guī)律：上加下減，左加右減．