Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+1）x+2k-2=0．
（1）求證：無論k為何值時(shí)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若兩個(gè)實(shí)數(shù)根平方和等于5，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先計(jì)算△得到△=（k+1）²-4（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²，由于（k-3）²≥0，即△≥0，根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)方程兩根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=2k-2，由x₁²+x₂²=5變形得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，即可得到關(guān)于k的方程（k+1）²-2（2k-2）=5，然后解此方程即可．
解答：（1）證明：△=（k+1）²-4（2k-2）
=k²-6k+9
=（k-3）²，
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴無論k為何值時(shí)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：設(shè)方程兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=2k-2，
∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（k+1）²-2（2k-2）=5，
∴k₁=0，k₂=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．