Question

如圖，直線y=

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C的坐標為（-3，0），P（x，y）是直線y=

1

2

x+2的一個動點（點P不與點A重合）．
（1）在點P運動過程中，試寫出△OPC的面積S與x的函數(shù)關系式；
（2）當P運動到什么位置時，△OPC的面積為

27

8

，求出此時點P的坐標；
（3）過P作AB的垂線分別交x軸、y軸于E、F兩點，是否存在這樣的點P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：常規(guī)題型

分析：（1）分x＞-4和當x＜-4討論，即可求出S關于x的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)S和x的函數(shù)關系式和S的值，求P點坐標即可；
（3）根據(jù)△EOF≌△BOA，即可求得直線EF的解析式，即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）點P為直線AB上的點，
當x＞-4時，△OPC的面積S=

1

2

×3×（

1

2

x+2）=

3

4

x+3；
當x＜-4時，△OPC的面積S=

1

2

×3×（-

1

2

x-2）=-（

3

4

x+3）；
△OPC的面積S與x的函數(shù)關系式為

S= 3 4 x+3，x＞-4 S=- 3 4 x-3，x＜-4

（2）△OPC的面積為

27

8

時，
設x＞-4時，

3

4

x+3=

27

8

，x=

1

2

，此時縱坐標為

9

4

，
設x＜-4時，-

3

4

x-3=

27

8

，x=-

17

2

；此時從坐標為-

9

4

；
點P坐標為（

1

2

，

9

4

）或（-

17

2

，-

9

4

）．
（3）存在，

∵PE⊥AB，
∴直線PE的解析式為y=-2x+b，
∵△EOF≌△BOA，
∴EO=BO=2，AO=FO=4，
①∴F點坐標為（0，-4），E點坐標為（-2，0）．
將EF代入PE解析式得y=-2x-4，
設直線AB和直線PF的交點P坐標為（x，y），
則x，y滿足

y= 1 2 x+2 y=-2x-4

，
解得：x=-

12

5

，y=

4

5

．
②E（2，0）F（0，4），
將EF代入PE得到解析式：y=-2x+4
設直線AB和直線PF的交點P坐標為（x，y），
則x，y滿足

y= 1 2 x+2 y=-2x+4

，
解得：x=

4

5

，y=

12

5

，
∴存在，P點坐標為（-

12

5

，

4

5

）或（

4

5

，

12

5

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的運用，考查了全等三角形對應邊相等的性質，熟練掌握一次函數(shù)的求解是解題的關鍵．