Question

   如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP= ，CQ=時，P、Q兩點間的距離 (用含的代數(shù)式表示)．新 課 標 第一網(wǎng)

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中點，

∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，

∴，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE，

∴BE=CE=a，

∴BC=3a，

∴AB=AC=BC•sin45°=3a，

∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，

連接PQ，

在Rt△APQ中，PQ==a．