Question

【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接AP，將△ABP沿著AP折疊．點(diǎn)B落到M處，連接BM、CM，若△BMC為等腰三角形，則BP的長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】或或8

【解析】

分三種情況：①BM＝CM時(shí)，如圖1所示：作MG⊥BC于G，則BG＝CG＝BC＝4，∠BGM＝90，設(shè)BP＝x，由折疊的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到MG，由勾股定理得出方程，解方程即可；②BM＝BC＝8時(shí)，如圖2所示：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BO＝MO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)健康得到結(jié)論；③CM＝BC時(shí)，連接OC，如圖3，由折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：當(dāng)△BMC為等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①BM＝CM時(shí)，如圖1所示：

作MG⊥BC于G，則BG＝CG＝BC＝4，∠BGM＝90°，

設(shè)BP＝x，

由折疊的性質(zhì)得：MP＝BP＝x，AP垂直平分BM，

∵∠ABC＝90°，

∴∠MBG＝∠BAP，

∴△BGM∽△ABP，

∴＝=，即＝，

解得：MG＝x，

在Rt△PMG中，GP＝4﹣x，由勾股定理得：（4﹣x）2+（x）2＝x2，

解得：x＝，或x＝10（不合題意舍去），

∴BE＝；

②BM＝BC＝8時(shí)，如圖2所示：

由折疊的性質(zhì)得：BO＝MO＝BM＝4，AP⊥BP，

∴∠AOB＝∠ABP＝90°，

∵∠BAO＝∠BAP，

∴△ABP∽△AOB，

∴＝，即＝，

解得：BP＝；

③CM＝BC時(shí)，連接OC，如圖3所示：

由折疊的性質(zhì)得：AP垂直平分BM，

∵CM＝BC，

∴OC⊥BM，

∴點(diǎn)P與C重合，

∴BP＝BC＝8；

綜上所述，當(dāng)△BMC為等腰三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)為或或8；

故答案為：或或8．