Question

如圖，A是線段BF延長線上的點(diǎn)，矩形BCDF的外接圓O交AC的中點(diǎn)E．
（1）求證：BD=AF；
（2）若BC=4，DC=3，求tan∠BAC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）由矩形的對(duì)邊相等，對(duì)角線相等，且四個(gè)角為直角得到BD=FC，BF=DC，∠FDC=90°，再由FC為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠FEC=∠FDC=90°，即FE垂直于AC，由E為AC的中點(diǎn)，得到FE垂直平分AC，即CF=AF，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形BCD中，由BC與DC的長，利用勾股定理求出BD的長，即為CF與AF的長，由AF+FB=AF+DC求出AB的長，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠BAC的值．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，BD=FC，BF=DC，∠FDC=90°，
∴FC為圓O的直徑，
∴∠FEC=∠FDC=90°，即FE⊥AC，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AF=FC，
∴BD=AF；
（2）在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根據(jù)勾股定理得：BD=

BC2+DC2

=

42+32

=5=AF，BF=DC=3，
∴AB=AF+BF=5+3=8，
∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AB

=

4

8

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．