Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E，過點A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點F，設∠DAC，∠CEA的度數分別是α，β．
（1）用含α的代數式表示β，并直接寫出α的取值范圍；
（2）連接OF與AC交于點O′，當點O′是AC的中點時，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根據兩銳角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；
（2）連接OF交AC于O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推出△AFO是等邊三角形即可解決問題；

解答 解：（1）連接OC．
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）．

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四邊形AFCO是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．

點評 本題考查切線的性質、垂徑定理、菱形的判定．等邊三角形的判定和性質等知識，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．