Question

15．如圖，平行四邊形ADBC中，∠C=60°，AC=BC，點(diǎn)E、F分別在BC、AC上，BE=CF，AE=BF交于點(diǎn)G．
（1）求∠EGB的度數(shù)；
（2）連接DG，求證：DG=AG+BG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ABE≌△BCF，則∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性質(zhì)得∠BGE=∠ABG+∠BAE，即可得到結(jié)論；
（2）延長GE至點(diǎn)H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得到△BGH為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△DBG≌△ABH（SAS），則DG=AH，即可得到DG=AG+BG．

解答 （1）解：∠C=60°，AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°；

（2）證明：延長GE至點(diǎn)H，使GH=GB，如圖，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH為等邊三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵四邊形ADBC是平行四邊形，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBG=∠ABH}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．