Question

如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是邊AB(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S，在線段RS上存在一點(diǎn)T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點(diǎn)E，F恰好分別在邊BC，AC上．

(1)△ABC與△SBR是否相似，說明理由；

(2)請(qǐng)你探索線段TS與PA的長度之間的關(guān)系；

(3)設(shè)邊AB＝1，當(dāng)P在邊AB(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分線，∴∠PRS＝∠BRS＝45°． 　　在△ABC與△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角， 　　∴△ABC∽△SBR．(1分) 　　(2)線段TS的長度與PA相等．(2分) 　　∵四邊形PTEF是正方形， 　　∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°， 　　在Rt△PFA中，∠PFA＋∠FPA＝90°， 　　∴∠PFA＝∠TPS， 　　∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS．(3分) 　　當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使得T與R重合時(shí)， 　　這時(shí)△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等，即有PA＝TS． 　　(若下面解題中沒有求出x的取值范圍是0≤x≤，以上的討論可評(píng)1分) 　　由以上可知，線段ST的長度與PA相等． 　　(3)由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高， 　　∴PS＝BS，∴BS＋PS＋PA＝1，∴PS＝．(4分) 　　設(shè)PA的長為x，易知AF＝PS， 　　則y＝PF＝PA＋PS，得y＝x＋()， 　　即y＝，(5分) 　　根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值為　　(6分) 　　如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)使得T與R重合時(shí)，PA＝TS為最大． 　　易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， 　　∴PA＝． 　　如圖3，當(dāng)P與A重合時(shí)，得x＝0． 　　∴x的取值范圍是0≤x≤　　(7分) 　　(此處為獨(dú)立得分點(diǎn)，只要求出x≤即可得1分) 　　∴①當(dāng)x的值由0增大到時(shí)，y的值由減小到(8分) 　　∴②當(dāng)x的值由增大到時(shí)，y的值由增大到　　(8分) 　　(說明：①②任做對(duì)一處評(píng)1分，兩處全對(duì)也只評(píng)一分) 　　∵≤≤，∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中， 　　正方形PTEF面積y的最小值是，y的最大值是　　(9分)