Question

如圖，已知點A（-3，5）在拋物線y=x²+c的圖象上，點P從拋物線的頂點Q出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位的速度向正方向運動，連接AP并延長，交拋物線于點B，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為C、D，連接AQ、BQ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當A、Q、B三點構成以AQ為直角邊的直角三角形時，求點P離開點Q多少時間？
（3）試探索當AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段能構成平行四邊形）時，點P離開點Q的時刻．

Answer 1

解：（1）把A（-3，5）代入得：5=×9+c，
∴c=．
（2）①若AQ⊥BQ，過點Q作MQ⊥y軸，過點Q作QN⊥BD于點N，
可證△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=，MQ=3，
∴．
設B（3k，2k+），
代入拋物線解析式得：k=，即B（，）．
∴直線AB的解析式為：．
∴OP=，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．
∴對應的時刻t為：2或．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此時點A與點B關于y軸對稱，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．
②若AC=AP，
設P（0，y），則：9+（y-5）²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．
此時，直線AP解析式為：．
與拋物線的交點B為（，），
∴PB==BD．
∴滿足條件的時刻為：和4．
分析：（1）把點A（-3，5）代入拋物線y=x²+c，即可求出c的值，從而得二次函數解析式；
（2）根據P為動點以及A、Q、B三點構成以AQ為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①若AQ⊥BQ，過點Q作MQ⊥y軸，可證△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，然后根據相似三角形的性質解答；
（3）根據AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應相等，分三種情況討論：①AC=BD，AP=BP時，根據軸對稱的性質解答；②AC=AP時，利用勾股定理結合一次函數解析式解答．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合及分類討論的數學思想方法．