Question

16．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于E、F．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AF=BE；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；④EF²=BE²+CF²．（　�。�

• A． ②③
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 通過證明△AFP≌△BEP就可以得出AF=BE，EP=PF，得出AE=CF，得出△EPF是等腰直角三角形，由S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出結(jié)論，由AF=BE，AE=CF得出EF²=BE²+CF²．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴∠B=∠PAF=45°，BP=AP，
∵∠APE+∠BPE=90°，∠APE+∠APF=90°，
∴∠BPE=∠APF．
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PAF}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△BEP（ASA），
∴BE=AF，PE=PF，
故①AF=BE；②△EPF是等腰直角三角形正確；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF²=PE²+PF²，
∴EF²=BE²+CF²．故④正確；
∵S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．故③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．