Question

如圖，Rt△OAB與曲線y₁=

k

x

的一支交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)B在橫軸上，AC=OC，△BOD∽△BAO；
（1）求直線OA的解析式y(tǒng)₂；
（2）若△AOD的面積為9，求k的值；
（3）直接寫出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得S_△CEO=S_△DBO，易證△CEO∽△ABO，
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

S△CEO

S△ABO

=

1

4

，從而得到

S△DBO

S△ABO

=

DB

AB

=

1

4

．再由△BOD∽△BAO可得BO²=BD•BA．設(shè)DB=a，可求得點(diǎn)A（-2a，4a），設(shè)直線OA的解析式y(tǒng)₂=kx，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y₂=kx，即可求出直線OA的解析式；
（2）由（1）中DB=a，AB=4a可得AD=3a，則有

S△ADO

S△BDO

=

AD

BD

=3，由S_△AOD=9可求得S_△BDO=3，由此可求出k的值；
（3）可先求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后數(shù)形結(jié)合就可解決問題．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，如圖，
則有∠CEO=∠ABO=90°，
∴S_△CEO=S_△DBO=

1

2

.

k

.

，CE∥AB，
∴△CEO∽△ABO，
∴

S△CEO

S△ABO

=（

OC

OA

）²=

1

4

，
∴

S△DBO

S△ABO

=

DB

AB

=

1

4

．
∵△BOD∽△BAO，
∴

BO

BA

=

BD

BO

，即BO²=BD•BA．
設(shè)DB=a，則有AB=4a，從而有BO=2a，
∴點(diǎn)A（-2a，4a）．
設(shè)直線OA的解析式y(tǒng)₂=kx，
∴4a=-2ak，
∴k=-2，
∴直線OA的解析式y(tǒng)₂=-2x；

（2）由（1）中DB=a，AB=4a得AD=3a，
∴

S△ADO

S△BDO

=

AD

BD

=3．
∵S_△AOD=9，
∴S_△BDO=3，
∴

1

2

.

k

.

=3，
∴k=-6（舍正）；

（2）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍為-

3

＜x＜0或x＞

3

．
提示：可先求出直線y=-2x與雙曲線y=-

6

x

的交點(diǎn)坐標(biāo)，為（-

3

，2

3

）、（

3

，-2

3

）；
然后畫出兩個(gè)函數(shù)完整圖象，結(jié)合圖象就可得到x的取值范圍．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、求直線及雙曲線的解析式、面積法、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想．關(guān)于兩個(gè)三角形面積之比的問題，若兩個(gè)三角形相似，可用相似三角形的面積比等于相似比的平方；若兩個(gè)三角形兩邊所對的高相等，可用三角形的面積比等于這兩邊的比．