Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BF=6，⊙O的半徑為5，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證明∠OEA=90°即可；
（2）連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算出OH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：連接OE、OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H，
由題意可知四邊形OECH為矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=

52-32

=4，
∴CE=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線和垂徑定理以及勾股定理的運(yùn)用，具有一定的綜合性．