Question

在△ABC中和△DBE中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB于F，且AB=DE．
（1）觀察并猜想，BD與BC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論．
（2）若BD=8cm，試求AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=∠DEB，根據(jù)AAS證△ACB≌△EBD，根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)全等推出AC=BE，BC=BD=8cm，根據(jù)線段中點(diǎn)求出BE，即可求出AC．

解答：
（1）BD=BC，
證明：∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠FEB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FEB，
在△ACB和△EBD中
∵

∠A=∠DEB ∠ACB=∠DBC AB=DE

，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BD=BC；

（2）解：∵由（1）知：△ACB≌△EBD，
∴BC=BD=8cm，BE=AC，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

BC=4cm，即AC=4cm．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，線段中點(diǎn)定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．