Question

已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、D(3，－2)、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上．

(1)求直線BC的解析式；

(2)求拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM＋CM的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2），，．（3），當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，

【解析】解：（1），，，

是等腰三角形，且點(diǎn)在軸的正半軸上，，

．．

設(shè)直線的解析式為，，．

直線的解析式為．····················· 4分

（2）拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，．············ 5分

又拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．

解得

拋物線的解析式是．······· 7分

在中，，易得．

在中，，，易得．

是的角平分線．

直線與軸關(guān)于直線對(duì)稱．

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，則符合條件的點(diǎn)就是直線與拋物線的交點(diǎn)． 8分

點(diǎn)在直線：上，

故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

又點(diǎn)在拋物線上，

．解得，．

故所求的點(diǎn)的坐標(biāo)是，．··············· 10分

（3）要求的取值范圍，可先求的最小值．

I）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故．

顯然的最小值就是點(diǎn)到軸的距離為，

點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，無(wú)最大值，．···· 13分

II）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，由點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，故只要求的最小值，顯然線段最短．易求得．

的最小值是6．

同理沒(méi)有最大值，的取值范圍是．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)， ．··············· 15分

（1）設(shè)直線解析式為，用待定系數(shù)法，由勾股定理得到點(diǎn)，而，把它們代入即可

　　　（2）關(guān)于對(duì)稱，則對(duì)稱軸，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；由于點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，利用直角三角形三角函數(shù)，得出直線與軸關(guān)于直線對(duì)稱，則符合條件的點(diǎn)就是直線與拋物線的交點(diǎn)，把與組成方程組，求方程組的解即可

      （3）要求范圍，要求邊界值，即求PM＋CM的最小值和最大值，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，則，故最小值為，但沒(méi)有最大值，故；當(dāng)

點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，把點(diǎn)和點(diǎn)分到軸的兩側(cè)，兩點(diǎn)間連線最短，連線與軸的交點(diǎn)就點(diǎn)，的最小值是，同樣沒(méi)有最大值，故