Question

5．如圖，頂點(diǎn)為P（2，-4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），點(diǎn)A在該圖象上，OA交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，-3），求△OAP的面積．
（3）當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，l上有一點(diǎn)N，且點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，試證明：∠ANM=∠ONM．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²-4，然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式為y=-x，則確定M（2，-2），則MP=2，由于△OPM和△APM共底邊PM，且PM邊上的高的和為3，于是可利用S_△OAP=S_△OPM+S_△APM進(jìn)行計(jì)算；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，AH⊥l于點(diǎn)H，l與x軸交于點(diǎn)C，如圖，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè) A（m，m²-4m），則 H（2，m²-4m），B（m，0），C（2，0），通過(guò)證明△OCM∽△OBA，可求出CM=-2m+8，得到M（2，2m-8），再利用點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱得到N（2，-2m），接著計(jì)算出$\frac{OC}{NC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AH}{NH}$=$\frac{1}{m}$，即有$\frac{OC}{NC}$=$\frac{AH}{NH}$，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OCN∽△AHN，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-2）²-4，
∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），
∴0=（0-2）²-4，解得a=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-2）²-4，即y=x²-4x；
（2）解：設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
將A（3，-3）代入得-3=3k，解得k=-1，
∴直線OA的解析式為y=-x，
當(dāng)x=2代入y=-x=-2，
∴M（2，-2），
∴MP=-2+4=2，
∴S_△OAP=S_△OPM+S_△APM=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）證明：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，AH⊥l于點(diǎn)H，l與x軸交于點(diǎn)C，如圖，
設(shè) A（m，m²-4m），則 H（2，m²-4m），B（m，0），C（2，0），
∵CM∥AB，
∴△OCM∽△OBA，
∴$\frac{CM}{AB}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{CM}{-{m}^{2}+4m}$=$\frac{2}{m}$，解得CM=-2m+8，
∴M（2，2m-8），
∴MP=2m-8+4=2m-4，
∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，
∴PN=MP=2m-4，
∴N（2，-2m），
∵OC=2，CN=2m，AH=m-2，NH=m²-2m，
∴$\frac{OC}{NC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AH}{NH}$=$\frac{m-2}{{m}^{2}-2m}$=$\frac{1}{m}$
∴$\frac{OC}{NC}$=$\frac{AH}{NH}$，
而∠OCN=∠AHN，
∴△OCN∽△AHN，
∴∠ONC=∠ANH，
即∠ANM=∠ONM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角相等的問(wèn)題．