Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1．
（1）該拋物線與y軸交于點C（0，

3

4

），頂點為D，求點D的坐標．
（2）在（1）的條件下，x軸是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．?

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：計算題

分析：（1）把C點坐標代入解析式可計算出m=±

7

2

，然后把解析式配成頂點式即可得到D點坐標；
（2）分類討論：先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后求出直線CD與x軸的交點坐標，即可得到P點坐標．

解答：解：（1）把C（0，

3

4

）代入y=x²-2mx+m²-1得m²-1=

3

4

，解得m=±

7

2

，
所以y=（x-m）²-1=（x±

7

2

）²-1，
所以D點坐標為（

7

2

，-1）或（-

7

2

，-1）
（2）存在．
當D點坐標為（

7

2

，-1），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 7 2 k+b=-1

，解得

k=- 7 2 b= 3 4

，
則直線CD的解析式為y=-

7

2

x+

3

4

，當y=0時，-

7

2

x+

3

4

=0，解得x=

3 7

14

，此時P點坐標為（

3 7

14

，0）；
當D點坐標為（-

7

2

，-1），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（-

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 - 7 2 k+b=-1

，解得

k= 7 2 b= 3 4

，
則直線CD的解析式為y=

7

2

x+

3

4

，當y=0時，

7

2

x+

3

4

=0，解得x=-

3 7

14

，此時P點坐標為（-

3 7

14

，0），
所以滿足條件的P點坐標為（

3 7

14

，0）或（-

3 7

14

，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減�。粁=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．