Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；

（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）1（2）CN=CM

【解析】試題分析：（1）利用正方形的性質和勾股定理計算即可；

（2）先判斷出EO為△AFC的中位線，再由EO∥BC得出，進而利用直角三角形得出CM=EM，再判斷出△CBN∽△COM得出比例式，進而得出CN=CM，即可得出結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD=，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長為1；

（2）CN=2CM

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC

∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，AE=FE

∴EO為△AFC的中位線

∴EO∥BC

∴

∴在Rt△AEN中，OA=OC

∴EO=OC=AC，

∴CM=EM

∵AF平分∠ACF，

∴∠OCM=∠BCN，

∵∠NBC=∠COM=90°，

∴△CBN∽△COM，

∴，

∴CN=CM．