Question

13．如圖形似“w”的函數(shù)是由拋物線y₁的一部分，其表達(dá)式為：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3）（x≤3）以及拋物線y₂的一部分所構(gòu)成的，其中曲線y₂與曲線y₁關(guān)于直線x=3對稱，A、B是曲線y₁與x軸兩交點(diǎn)（A在B的左邊），C是曲線y₁與y軸交點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線y₂的表達(dá)式；
（2）我們把其中一條對角線被另一條對角線垂直且平分的四邊形稱為箏形．過點(diǎn)C作x軸的平行線與曲線y₁交于另一個點(diǎn)D，連接AD．試問：在曲線y₂上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ACDM為箏形？若存在，計(jì)算出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)C，y₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出函數(shù)y₂解析式即可；
（2）先確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)和CP的解析式，從而求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3）中，
令y₁=0，則有$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3）=0，
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵C為曲線y₁與y軸的交點(diǎn)，
∴C（0，-$\sqrt{3}$）．
又∵曲線y₁與曲線y₂關(guān)于直線x=3對稱，
∴曲線y₂與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）與（7，0），
∴y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）（x-7）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-10x+21）（（x≥3）
（2）如圖，

過點(diǎn)D作DG⊥x軸，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，
∴PH=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{3}{2}$，
∴OH=AH-AO=$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴設(shè)線段AD的垂直平分線CP的解析式為y=kx+m，
∵點(diǎn)C（0，-$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2}+m=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{m=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{m=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴CP的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
∵y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-10x+21）與∴x=$\frac{13+\sqrt{73}}{2}$或x=$\frac{13-\sqrt{73}}{2}$（舍，∵x＜3）．
∴x_M=$\frac{13+\sqrt{73}}{2}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了確定函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，和待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式是解本體的關(guān)鍵．