Question

解方程：x（x+1）（x+2）（x+3）=120．

Answer 1

考點：換元法解一元二次方程

專題：

分析：首先把（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）分別相乘得到（x²+5x+6）（x²+5x+4）-120，然后利用整體相乘的思想多項式變?yōu)椋▁²+5x）²+10（x²+5x）+24-120，然后利用換元法即可求解．

解答：解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120，
∵（x²+5x+6）（x²+5x+4）-120=0
∴（x²+5x）²+10（x²+5x）-96=0．
設(shè)x²+5x=t，則
t²+10t-96=0，
即（t+16）（t-6）=0．
解得 t=-16或t=6．
①當(dāng)t=-16時，x²+5x=-16，即x²+5x+16=0．
∵△=25-64=-39＜0，
∴該方程無解；
②當(dāng)t=6時，x²+5x=6，即
（x+6）（x-1）=0，
解得 x₁=-6，x₂=1．
綜上所述，原方程的解是x₁=-6，x₂=1．

點評：本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進輔助元素，將問題進行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過程中，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代表它，實行等量替換．這樣做，常能使問題化繁為簡，化難為易，形象直觀．