Question

如圖，在菱形ABCD中，E為邊BC的中點，DE與對角線AC交于點M，過點M作MF⊥CD于點F，∠1=∠2．

求證：（1）DE⊥BC；

（2）AM=DE+MF．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明∠CFM=90°，△CFM≌△CEM，推出∠CEM =90°，即DE⊥BC.

（2）延長AB交DE于點N，通過中位線性質和邊的等量代換，證明AM= MN，MN =NE+ME，ME=MF，所以AM=DE+MF.

【解析】

試題分析：（1）證明垂直，可以通過證明角等于90°，或者找出等腰三角形利用三線合一，該題可以考慮通過證明角為90°；

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．

∴∠1=∠ACD．

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2．

∴MC=MD．

∵MF⊥CD，∴∠CFM=90°，CF=CD．

∵E為BC的中點，∴CE=BE=BC．

∴CF= CE．

∵CM=CM，

∴△CFM≌△CEM．

∴∠CEM=∠CFM=90°，

即DE⊥BC．

（2）證明不相干的邊的數(shù)量關系，可以應用邊的等量代換；

延長AB交DE于點N，

∵AB∥CD，CE=BE，

∴NE=DE，∠N=∠2．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠N．

∴AM=MN．

∵NM=NE+ME，∴AM=DE+ME．

∵ME=MF，∴AM=DE+MF．

考點：菱形、等腰三角形的性質

點評：該題是常考題，主要考查學生對菱形和等腰三角形性質應用的熟練程度。