Question

13．如圖，在正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ．給出如下結(jié)論：
①DQ與半圓O相切；②$\frac{PQ}{BQ}=\frac{4}{3}$；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=$\frac{3}{5}$．
其中正確的是①③（請將正確結(jié)論的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①連接OD，OQ，證明△AOD與△QOD全等即可；
②連接AQ，借助三角函數(shù)和勾股定理求出PQ，BQ的長度即可求解；
③連接AQ，OQ，借助①②的相關(guān)結(jié)論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)和同角的余角（補(bǔ)角）相等即可求解；
④過點(diǎn)Q作QH⊥CD，求出三角形DQH的三邊長度即可確定相關(guān)的三角函數(shù)．

解答 解：①如圖1

連接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，
∵P是CD中點(diǎn)，O是AB中點(diǎn)，
∴DP∥OB，DP═OB，
∴四邊形OBDP是平行四邊形，
∴OD∥BP，
∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，
又∵OQ=OB，
∴∠3=∠OBQ，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△QOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=QO}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△QOD，
∴∠OQD=∠A=90°，
∴DQ與半圓O相切，
①正確；
②如圖2

連接AQ，可得：∠AQB=90°，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABQ=∠BPC，
設(shè)正方形邊長為x，則CP=$\frac{1}{2}$x，
由勾股定理可求：BP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠BPC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，又AB=x，
可求，BQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$x，
∴$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{3}{2}$，
②不對；
③如圖3

連接AQ，OQ，
由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，
∵∠3+∠AOQ=180°，
∴∠3=∠ADQ，
由②知，∠1+∠4=90°，
又∠4+∠CBP=90°，
∴∠CBP=∠1，
∵OA=OQ，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠CBP，
∴∠ADQ=2∠CBP，
故③正確；
④如圖4，

過點(diǎn)Q作QH⊥CD，
易證QH∥BC，
設(shè)正方形邊長為x，由②知：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$x，cos∠BPC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可求：PH=$\frac{3}{10}$x，HQ=$\frac{3}{5}$x，
∴DH=DP+PH=$\frac{4}{5}$x，
由勾股定理可求：DQ=x，
∴cos∠CDQ=$\frac{DH}{DQ}$=$\frac{4}{5}$，
故④不正確．
綜上所述：正確的有①③．

點(diǎn)評 此題考查圓的綜合問題，熟悉正方形的性質(zhì)，會構(gòu)造平行四邊形并運(yùn)用其性質(zhì)，會結(jié)合圓的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造全等三角形，會證明切線，能熟練的運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．