Question

已知二次函數(shù)的頂點坐標為（-

n

m+n

，-

m2

m+n

），與y軸的交點為（0，n-m），其頂點恰好在直線y=x+

1

2

（1-m）上（其中m、n為正數(shù)）．
（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點；
（2）在x軸上是否存在這樣的定點：不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點？若存在，求出所有這樣的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：證明題,存在型

分析：（1）把二次函數(shù)頂點坐標代入代入y=x+

1

2

（1-m）得-

n

m+n

+

1

2

（1-m）=-

m2

m+n

，整理后利用因式分解得到（m-n）（m+1）=0，則m=n或m=-1（舍去），于是二次函數(shù)的頂點坐標為（-

1

2

，-

m

2

），與y軸的交點為（0，0），由m為正數(shù)可判斷二次函數(shù)的頂點在第四象限，而拋物線過原點，所以拋物線開口向上，由此得到此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點；
（2）由（1）得到拋物線的對稱軸為直線x=-

1

2

，拋物線與x軸的一個交點坐標為（0，0），利用對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1，0）．

解答：（1）證明：把（-

n

m+n

，-

m2

m+n

）代入y=x+

1

2

（1-m）得-

n

m+n

+

1

2

（1-m）=-

m2

m+n

，
整理得m²-mn+m-n=0，
∵（m-n）（m+1）=0，
∴m=n或m=-1（舍去），
∴二次函數(shù)的頂點坐標為（-

1

2

，-

m

2

），與y軸的交點為（0，0），
∵m為正數(shù)，
∴二次函數(shù)的頂點在第四象限，
而拋物線過原點，
∴拋物線開口向上，
∴此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點；
（2）解：存在．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

1

2

，拋物線與x軸的一個交點坐標為（0，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1，0），
即不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過點（-1，0）和（0，0）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標；二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．