Question

在線段AB中找出點C，使其滿足

AC

AB

=

BC

AC

，則C為線段AB的黃金分割點．若使AB為長方形的長，AC為長方形的寬，則其為黃金矩形．

（1）長方形ABDC為黃金矩形，面積為15，求AB和AC的長度；
（2）長方形ABEF為黃金矩形（長方形ABDC就是圖1的長方形），求AE長；
（3）長方形BFGH為黃金矩形（長方形ABEF就是圖2的長方形），求GF長；
（4）若繼續(xù)按下面的方法畫下去，可以得到第四個、第五個、第六個…求第十個這樣的黃金矩形的長．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：

分析：（1）由黃金分割的定義設(shè)AB=x，則AC=

5 -1

2

x，根據(jù)長方形ABDC的面積為15列出方程，解方程即可；
（2）由

AB

AE

=

5 -1

2

及AB=

30+30 5

2

，即可求出AE的長；
（3）由

BF

GF

=

5 -1

2

及BF=AE=

( 5 +1) 30+30 5

4

即可求出GF的長；
（4）根據(jù)前面的方法，即可求出第四個、第五個、第六個…第十個這樣的黃金矩形的長．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)AB=x，則AC=

5 -1

2

x，
x•

5 -1

2

x=15，
解得x=±

30+30 5

2

（負值舍去），
所以AB=

30+30 5

2

，AC=

5 -1

2

×

30+30 5

2

=

( 5 -1) 30+30 5

4

；

（2）如圖2，∵

AB

AE

=

5 -1

2

，AB=

30+30 5

2

，
∴AE=

2AB

5 -1

=

2

5 -1

×

30+30 5

2

=

( 5 +1) 30+30 5

4

；

（3）如圖3，∵

BF

GF

=

5 -1

2

，BF=AE=

( 5 +1) 30+30 5

4

，
∴GF=

2

5 -1

BF=

2

5 -1

×

( 5 +1) 30+30 5

4

=

(3+ 5 ) 30+30 5

4

；

（4）第四個黃金矩形的長為（

2

5 -1

）³×

30+30 5

2

，
第五個黃金矩形的長為（

2

5 -1

）⁴×

30+30 5

2

，
第六個黃金矩形的長為（

2

5 -1

）⁵×

30+30 5

2

，
…，
第十個黃金矩形的長為（

2

5 -1

）⁹×

30+30 5

2

．

點評：本題考查了黃金分割的定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（

5 -1

2

）叫做黃金比．