Question

17．如圖1，∠AOB=∠BOD=90°，AO=BO，OD=OE．
（1）判斷AE與BD的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，點F、H、Q分別為AB、AD、BE的中點，試探究QF與FH的關(guān)系；
（3）若FQ=（1-$\frac{1}{x+2}$）÷$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x+2}$，其中x=$\sqrt{3}$-1，求△QFH的周長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AE=BD，AE⊥BD．如圖1中，延長AE交BD于F．由△AOE≌△BOD，推出AE=BD，∠EAO=∠OBD，由∠AEO=∠BEF，推出∠BFE=∠AOE=90°，即∠BFE=90°；
（2）結(jié)論：FQ=FH，F(xiàn)Q⊥FH．根據(jù)三角形中位線定理即可即可解決問題．
（3）△FQH是等腰直角三角形，求出FQ即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：AE=BD，AE⊥BD．
理由：如圖1中，延長AE交BD于F．

在△AOE和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOD}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD，
∴AE=BD，∴∠EAO=∠OBD，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠BFE=∠AOE=90°，
∴∠BFE=90°，
∴AE⊥BD，AE=BD．

（2）結(jié)論：FQ=FH，F(xiàn)Q⊥FH．

理由：∵BF=AF，BQ=QE，
∴FQ∥AE．FQ=$\frac{1}{2}$AE，
∵AF=FB，AH=HD，
∴FH∥BD，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$BD，
∵AE=BD，AE⊥BD，
∴FQ=FH，F(xiàn)Q⊥FH．

（3）∵FQ=（1-$\frac{1}{x+2}$）÷$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x+2}$=$\frac{x+1}{x+2}$•$\frac{x+2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$，
∵x=$\sqrt{3}$-1，
∴FQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由（2）可知，△FQH是等腰直角三角形，
∴FQ=FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，QH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴△FQH的周長=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、分式的混合運算、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，靈活應(yīng)用三角形中位線定理，屬于中考�？碱}型