Question

4．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，E在CB的延長線上，且BE=2BD，連接AE，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，連接BG、BF．
（1）如圖1，求證：四邊形AGBF是平行四邊形．
（2）如圖2，連接GF、DF，GF與AB相交于點(diǎn)H，若GF=AB，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有的等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，AD⊥BC，根據(jù)三線合一的知識(shí)，可得BC=2BD，又由BE=2BD，可得B是EC的中點(diǎn)，又由F是AC的中點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可得BG∥AC，BF∥AE，即可判定：四邊形AGBF是平行四邊形．
（2）易證得四邊形BGFC是平行四邊形，由GF=AB，可判定△ABC是等邊三角形，繼而可得△AHF，△CDF，△GHB是等邊三角形．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BE=2BD，
∴BC=BE，
∵F是AC的中點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，
∴BG∥AC，BF∥AE，
∴四邊形AGBF是平行四邊形．

（2）∵F是AC的中點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，
∴GF∥BC，
∵BG∥AC，
∴四邊形BGFC是平行四邊形，
∴GF=BC，
∵GF=AB，AB=AC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC是等邊三角形，
∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，
∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，
∴△AHF，△CDF，△GHB是等邊三角形，
綜上可得：圖2中等邊三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得B是EC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．