Question

已知一元二次方程x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0．

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5．當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)證明：∵一元二次方程為x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0，

　　△＝［－(2k＋1)］²－4(k²＋k)＝1＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

　　(2)∵△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三邊BC的長為5，且△ABC是等腰三角形，

　　∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一個解．

　　將x＝5代入方程x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0，

　　25－5(2k＋1)＋k²＋k＝0，解得k＝4或k＝5.

　　當k＝4時，原方程為x²－9x＋20＝0，x₁＝5，x₂＝4，以5，5，4為邊長能構(gòu)成等腰三角形；

　　當k＝5時，原方程為x²－11x＋30＝0，x₁＝5，x₂＝6，以5，5，6為邊長能構(gòu)成等腰三角形；(必須檢驗方程的另一個解大于0小于10且不等于5)

　　∴k的值為4或5．